锁相环稳态响应分析

稳态响应

假定一个N阶锁相环已经处于锁定状态，然后在输入信号的初相中突然加入一个干扰或者激励，那么我们所关心的是锁相环能否最终会回到锁定的状态以及收敛后的跟踪误差大小等问题，这就是锁相环的稳态响应性能分析。

相位激励信号通常可以分解为相位阶跃、频率阶跃和频率斜升等多种基本形式，它们分别对应着不同形式的动态应力。分析锁相环在不同激励下的稳态响应状态，我们可以从中了解到不同阶数的环路在各种动态应力下的信号跟踪性能。

相位阶跃是指相位的简单跳变。发生在零时刻的相位阶跃激励信号 $\theta_i(n)$ 可表达为：

$\theta_i(n)=\Delta\theta \cdot u(n)$

其中 $\Delta\theta$ 为相位阶跃幅值， $u(n)$ 为单位阶跃序列，而相应阶跃激励信号的Z变换为：

$\theta_i(Z)=\frac {\Delta \theta} {1-Z^{-1}}=\frac {\Delta \theta Z} {Z-1}$

又误差信号 $\theta_e(Z)$ 与输入信号 $\theta_i(Z)$ 之间满足：

$\theta_e(Z)=H_e(Z)\cdot\theta_i(Z)=\frac{(1-Z^{-1})^N}{(1-Z^{-1})^N+T_S\sum_{n=0}^{N-1}b_nZ^{-n-1}}\cdot\frac {\Delta \theta Z} {Z-1}$

由Z变换的终值定理可得误差信号 $\theta_e(n)$ 的稳态终值为：

$\lim_{n \to \infty} \theta_e(n)=\lim_{z \to 1}[(z-1)\theta_e(Z)]=0$

由上式可得，在相位阶跃激励下，不论锁相环是一阶还是多阶，并且不论相位阶跃信号的幅值 $\Delta\theta$ 多大，锁相环误差信号 $\theta_e(n)$ 的稳态终值均等于0。任何阶数的锁相环都能准确无误地跟踪锁定相位阶跃后地输入信号。

频率阶跃是指频率地简单跳变即相位的写升变化或者是激励信号的相位按时间的一次方关系增长。例如，若接收机实际的晶体振荡频率与其标称频率存在一个恒定的偏差，则这种偏差在一定情况下可视为锁相环输入信号中的频率阶跃。

类似于相位阶跃激励的分析可得：在频率阶跃激励下，一阶锁相环仍能跟踪信号，但其输出与输入之间存在着一个恒定的相位跟踪误差，而二阶和更高阶的锁相环却可以准确无误地跟踪频率阶跃信号。

频率斜升相当于相位地加速度，即频率斜升激励信号的相位按时间的平方关系增长。例如，由GPS卫星在椭圆轨道上的运行所引起的接收信号载波多普勒效应近似地呈频率斜升，因而GPS接收机经常遭遇这种形式地激励。

类似于相位阶跃激励的分析可得：在频率斜升激励下，一阶锁相环会最终失锁，二阶锁相环虽然仍能跟踪信号，但它会产生一个恒定地相位跟踪误差，而三阶和更高阶地锁相环却可以准确无误地跟踪。

由上述分析可得：一个N阶锁相环不但能准确无误地跟踪相位按时间地（N-1）次方或者低次方变化的信号，而且还能跟踪相位按时间的N次方变化的信号，只不过此时会产生一个值恒定的相位跟踪误差，但是它不能跟踪相位按时间的（N+1）次方或者更高次方变化的信号。